Proporce čili poměry...

Proporce neboli poměry…

Dostalo se mi vzácné příležitosti napsat několik stránek zamyšlení nad tématikou teorie proporcí. Mám už určitý věk a z předvánočního období na mě vykukuje penzijní věk a možná kariéra pracujícího seniora, ale přijal jsem tuto, jak se dnes říká, „výzvu“, s určitou radostí a snad i zadostiučiněním. Je to pro mě šance upozornit na něco nenápadného a přitom opravdu důležitého a univerzálního pro pochopení světa kolem nás.

Není to pojem úplně všeobecně známý, ale přesto tvoří jeden z největších výdobytků a pokladů lidského myšlení. Teorie proporcí zní záhadně, pochází ze starého antického Řecka, ale její důsledky nás provázejí od nejútlejšího dětství a samozřejmě i celými školními léty a zůstávají s námi a kolem nás po celý život. Je obrovskou škodou, že se nám jenom zřídka dostane takového výkladu, abychom jim skutečně do hloubky porozuměli.

Měl jsem ve svém životě štěstí na učitele a vděčím jim za mnohé. Pamatuji si ze školy spoustu užitečných věcí a stejně tak spoustu věcí neužitečných. To nejcennější bylo to, co jsem si nemusel pamatovat, co mi přešlo tak nějak do krve, stalo se součástí mého myšlení. Něco z toho jsem si uvědomoval více a něco méně. Měl jsem v životě navíc štěstí, že jsem se většinu svého času pohyboval mezi intelektuálně zdatnými a vzdělanými lidmi, a to jak v soukromém, tak i v profesionálním životě. Spoustu věcí jsem pokládal za samozřejmé. Teprve když jsem byl několikrát v určitém období konfrontován se znalostmi lidí, které jsem měl připravit na překonání určitého životního kroku v podobě nejrůznějších zkoušek, uvědomil jsem si nesamozřejmost oné spousty věcí. Teprve nedávno, v důsledku koronavirové krize jsem se jen tak mimochodem dozvěděl, že je čím dál tím větší problém, aby děti pochopily ústní sdělení nebo otázku v rozsahu jedné věty a dokázaly na ni také celou větou smysluplně odpovědět. Po nějakém čase přemýšlení mi konečně spousta věcí „došlo“ a krátce na to přišla možnost napsat tuto úvahu o teorii proporcí. Rád bych tento text věnoval svým skvělým učitelům a svému příteli Peteru Schwarczovi, který souvislosti v něm obsažené hodlá použít při výchově svých nezletilých dítek, školou povinných.

Než přejdu k samotnému obsahu teorie, budu se zabývat její formou. Řecké poznání, včetně matematického, a jeho intepretace kladly veliký důraz na své verbální vyjádření. Připomenu jenom klasické: „Bod jest, co nemá dílu. Přímka je pak čára bez konce…“ Matematická symbolika byla tehdy v plenkách a její rozšíření bylo nepatrné a významně se lišilo nejen lokálně, ale i v čase. Rovněž systém řeckých číslic nedosahoval elegance indického systému, později, díky zprostředkování Araby, pojmenovanému v Evropě jako číslice arabské. Symbolické záznamy a celý systém formulí bez konkrétních čísel, známý jako „algebra“ pochází rovněž od arabských a perských vědců, ale je daleko mladší. Svůj původ odvozuje od knihy „al-Kitáb al-Džabr wa-l-Muqabala“ tedy „Souhrnné pojednání o počítání pomocí doplňování a vyrovnávání“ perského matematika Muhammada al-Chwārizmīho, ve které se mimo jiné poprvé objevil obecný postup pro řešení lineárních a kvadratických rovnic za použití symbolů „neznámých“ a základních operací s těmito symboly. Ani tento obecný postup by nikdy nevznikl, kdyby nebylo teorie proporcí.

Vzpomněl jsem si na svá školní léta, kdy mě moji učitelé od první třídy, ba od školky, „nutili“, abych vyjadřoval vlastními slovy a posléze i jinými, kupříkladu výtvarnými prostředky, to, co vnímám svými smysly. Klasickou úlohou byl popis na tabuli zavěšeného Ladova obrazu ročního období. První byl podzim a já si doteď pamatuji, kde na obrazu pečou děti brambory, pouštějí draky nebo kde je koza nebo kráva. Pokyn učitelů obojího pohlaví „…a teď to řekni svými vlastními slovy…“ následoval rovněž po té, co jsme více nebo méně úspěšně přeslabikovali nějaký text v čítance. Stejně tak jsme byli učiteli vyzýváni, abychom vlastními slovy převyprávěli to, co nám učitelé povídali. Schopnost vyjádřit se vlastními slovy nebo jinými prostředky byla velmi důležitá, ale byla rozvíjena jaksi přirozeně nebo dokonce podprahově. Později, „na měšťance“ jsem měl sníženou známku z výtvarné výchovy, protože jsem se podle svého učitele, který mě měl mimochodem také na matematiku, nedostatečně výtvarně vyjadřoval. Když jsem devítiletku opouštěl, přiznal se mi, že má dílka posílal na různé výtvarné soutěže a že jsem občas i uspěl. Ale on mi kladl na srdce, že okolnost, že dokážu dobře zachytit realitu, není tak cenná, jako když se do toho pokusím dát kousek sebe a své fantazie. Schopnost vlastní interpretace a potažmo schopnost tvorby vlastního názoru mě jako hodnotící kritérium provází celým životem. Přiznám se, že když jsem dostal nabídku napsat něco k teorii proporcí, ptal jsem se sám sebe, jestli dokážu napsat něco svého, jestli to dokážu vyjádřit vlastními slovy, jestli na to mám svůj názor. O teorii proporcí, jako součásti Euklidových „Základů“ a  především jejich páté knihy, toho bylo napsáno skutečně dost. Jako původní autor teorie proporcí je uváděn Eudoxos z Knidu. To všechno jsou dnes běžně dostupné skutečnosti a já si dovolím v tomto smyslu odkázat laskavého čtenáře na text Zbyňka Šíra z katedry didaktiky matematiky MFF UK s názvem UŽITÍ TEORIE PROPORCÍ U EUKLEIDA, ARCHIMÉDA A APOLLÓNIA. Pojednání to není dlouhé, což není v dnešní době zanedbatelná kvalita, a obsahuje, alespoň podle mého skromného názoru, vše podstatné, včetně odkazů na další zdroje, ze kterých lze čerpat další skutečnosti. Bylo by opravdu zbytečné, kdybych se pokoušel o popis faktografie nebo opakování textů, které už nutně v průběhu staletí i v současnosti lépe zpracovali jiní. Odkaz na příspěvek je k dispozici zde:

https://www2.karlin.mff.cuni.cz~sir/papers/proporce.pdf

Na gymnáziu jsem měl možnost se o prázdninách pravidelně účastnit Letní školy mladých matematiků, kterou pro středoškoláky Severočeského kraje organizovala katedra matematiky Pedagogické fakulty v ústí nad Labem. Později to byla občasná spolupráce i v rámci školního roku. Vůdčím duchem Letní školy byl mladý asistent Jiří Cihlář, který se mezitím stal nepochybně stejně mladým profesorem Jiřím Cihlářem. V rámci této školy jsme měli celou řadu zajímavých přednášek a jedna se týkala i Euklidových Základů. Více než o obsah Základů  šlo přednášejícím o možnou podobu jejich podstaty a především o pochopení toho, odkud a jak jsou budovány základy nejrůznějších teorií. Okřídleným příkladem bylo příběh toho, jak matematik vaří čaj. Dokonce i v momentu, kdy má k dispozici vroucí vodu, do které stačí vložit čaj, má matematik vodu vylít, vše uklidit a postupovat znovu od „základů“. Musím říci, že od nás byla i při studiu gymnázia požadován správný postup, popis správných východisek a stejně tak popis výsledků, které musely být vždy uvedeny ve správných veličinách a popřípadě doplněny rozměrovou zkouškou a rozsahem platnosti.

Zde si dovolím další exkurzi do školních let za poučeními, kterých se mi tam dostalo a která mě provázejí celým životem. Je to například poučka „nikdy nesčítej hrušky s jabkama…!!!“ To, že jde o uplatnění nutné souměřitelnosti nebo sourodnosti veličin, jako samotného základu „Základů“, to nám samozřejmě v útlém školním dětství nikdo neřekl, ale o to důsledněji se mi tato elementární poučka vryla do pamětí. Její možný dosah jsem si uvědomil až daleko později a plný dosah si možná neuvědomuji dosud. Vzpomínám si, jak jsem s opovržením doplňoval ke svým výpočtům nejrůznější kontroly a rozměrové zkoušky, které jsem pokládal za určené méně bystrým. Byla to panská pýcha a bylo jenom přirozené, že jsem se občas seknul, ale moc mě to nepoučilo. Veličiny a jednotky mi připadaly jako něco samozřejmého, čemu není třeba věnovat velkou pozornost. Teprve, když se mi dostaly do rukou texty Zdeňka Neubauera, kupříkladu jeho brilantní text „O čem je věda“, vydaný v roce 2009 v Malvernu, věnovaný mimo jiné významnému dílu Mikuláše Kusánského „Trialogus de possest“, jsem si uvědomil, jaký ohromný význam mají veličiny a jednotky, pojmy „velikost“ a „kolikost“, a to mě vrátilo opět až k Euklidovým Základům a teorii proporcí.

Návraty do školních let by nebyly úplné, kdybych neuvedl dvě všeobecně důvěrně známé „početní“ nebo možná i honosněji vyjádřené matematické dovednosti, kterými jsou slovní úlohy a s nimi spojená významná technologie matematického modelování, známá jako trojčlenka. Ano, naprostou většinu slovních úloh lze převést na sdělení, že neznámá kolikost nějaké hodnoty se má ve vztahu ke kolikosti nějaké jiné hodnoty stejně jako nějaké jiné dvě odpovídající kolikosti týchž dvou hodnot vůči sobě navzájem. Musím říci, že si nevzpomínám, samozřejmě až na všudypřítomné výjimky, že by měl někdo z mých spolužáků nějaké fatální problémy s touto látkou. Přikládám to tomu, že jsme díky neustálým výzvám k interpretaci textu, mluveného slova nebo obrazu „vlastními slovy nebo jinými prostředky“ měli docela dobré porozumění sdělení v jednotlivých formách a zvládali jsme díky jednoduchým příkladům i odlišení přímé a nepřímé úměry. Museli jsme samozřejmě takové příklady na téma „čím více tím více“, „čím více tím méně“, „čím méně tím více“ a „čím méně tím méně“ sami vymýšlet a sestavovat příslušné trojčlenky a upravovat je do podoby „iks se rovná“. Ale pořád jsme museli výsledek interpretovat slovy a to úplnou větou oznamovací. Bez toho bylo řešení špatně. Osobně jsem dostal sníženou známku ze složitého výpočtu, protože jsem měl ve větě shrnující výsledek výpočtu pravopisnou chybu. Prostě slovní úloha tenkrát vyžadovala a ze své podstaty stále vyžaduje striktně slovní odpověď. Jen jsme tenkrát netušili, že děláme praktická aplikační cvičení z teorie proporcí. Nevěděli jsme o ní tenkrát jako žáci nebo studenti zhola vůbec nic…

Dovolím si ještě jeden návrat do školních let. Snad už doopravdy poslední. Ten souvisí s podmínkami, za kterých výsledek, ke kterému jsme se dobrali trnitou cestou na základě modelování a výpočtů a popsali slovně větou oznamovací. Jsou to podmínky platnosti takového výsledku. Hledání těchto podmínek začíná už při analýze vstupních údajů, jestli vůbec dávají v daném kontextu smysl. Každý si pamatuje omezující podmínku, že ve jmenovateli nemůže být nula, protože „nulou nedělíme“. Takových podmínek byla celá řada. Někdy byla výsledná podmínka platnosti jejich sjednocením, někdy průnikem, ale vždycky byl obecný výsledek platný jenom s určením omezení jeho platnosti.

Teprve hlubší studium matematiky, především algebry, algebraických struktur, například těles, přivádí člověka k pochopení důležitosti formulace úplně základních podmínek utváření nějaké teorie a jeho vliv na její aplikaci. Jak už jsem uvedl, měl jsem to štěstí, že se mi dostalo jako gymnazistovi skromného výkladu Euklidových Základů, právě z pohledu toho, jak jsou vystavěny na elementárních skutečnostech, které jsou patrné a samozřejmé skoro každému, ale teprve postavení několika z nich vedle sebe vytvoří základy nějaké komplexní stavby, kupříkladu právě euklidovské geometrie. Připomenu známou samozřejmost. Jestliže se od stejně velkých věcí odejmou stejně velké věci, zbytky se rovnají. Nebo jinou, která říká, že jestliže se dvě věci rovnají třetí, jsou si rovné navzájem. Podobné samozřejmosti jsou nazývány v Základech „společnými pojmy“ a Aristoteles mluví o „axiomech“ nebo „společných úsudcích“. Tyto axiomy se nedokazují, jsou zřejmé a nelze je vyjádřit prostřednictvím nějakého srovnání. Jsou singularitami svého druhu. Je důležité mít na vědomí, že mezi podmínky platnosti nějakého výsledku patří nejen to, že „nulou nedělíme“, ale i axiomy, které vůbec umožňují existenci nuly a dělení v daném systému. Víme, že ani v nejhlubších základech systému přirozených čísel prostě nula není. Dělení tam naopak možné je.

Teorie proporcí obsahuje celou řadu naprosto elementárních jasných sdělení, která jsou o to více zřejmá, když si je řekneme jejich krásným jazykem a pokud možno nahlas. Přesto bych se ještě jednou vrátil ke klíčovému pojmu této teorie, a tím je podle mého skromného názoru nutná „sourodost veličin“, které tvoří poměr. Pojem veličiny je rovněž pro spoustu z nás samozřejmostí, ale zdaleka tomu tak není a bylo by skvělé, kdyby od samého počátku byla předmětem školního vzdělávání otázka, kde se veličiny vzaly. Je možné samozřejmě jít cestou obrazu kupříkladu Galilea Galileiho, který spouští z různých pater šikmé věže v Pise předměty a měří čas jejich dopadu. Snaží se popsat jev, který spočívá v tom, předměty padání směrem dolů vzrůstající rychlostí. Všichni přece dobře víme, že dráha se rovná jedné polovině násobku zrychlení a druhé mocniny času. Zdá se to jednoduché a primitivní až do té doby, než se přeneseme časem do doby  „mistra GaGa“ a zjistíme, že máme velkou kupu problémů s tím, jak pozorované skutečnosti vyjádřit. A pokud se nám to už podaří, pak už jenom velmi krkolomně slovně neboli pomocí písemného a číselného kódu. Krkolomně proto, že jsem si vědom, že popis musí být velmi obsáhlý, aby mu rozuměli aspoň všichni, kdož vládnou jazykem tohoto popisu. Galileo dokonce na mnoho let přerušil svá zkoumání, protože propadal beznaději, že se mu podaří své poznatky v vnějaké přijatelné podobě šířit.

Popis výsledků alfanumerickým kódem či řetězcem mohu významně zkrátit, pokud bych měl k dispozici všeobecně známá pojmenování pro všechny fyzikální veličiny, které se do tohoto prostého experimentu a jeho vyhodnocení zapojují. A nejen pro veličiny, ale i pro jejich jednotky, ve kterých mohu určit počet neboli kolikost dané veličiny a vytvořit to, co potřebuji nejvíce a tím je systém proporcí a poměrů, které mi teprve umožní modelovat a hledat jiná vyjádření pro výšeuvedené jevy kolem šikmé věže v Pise. Nic z toho v době Galilea nebylo k dispozici a fyzika se vydala na velice dlouhou a trudnou pouť k vytvoření systému veličin a jejich jednotek, které jsme všichni ve škole poznali jako soustavu SI. Vzpomeňme si na všechny změny, kterými tato soustava veličin a jednotek prošla jenom za našeho života a uvědomíme si, že tento proces je stále živý a ještě zdaleka neskončil. Uvědomíme si, jak dlouho a složitě se hledal systém sedmi základních veličin a jejich jednotek, pomocí kterých lze vyjádřit všechny ostatní veličiny a jednotky. Přes všechno normalizační a koordinační úsilí se ještě dnes může stát, že po světě padají letadla a umírají lidé jenom proto, že někdo někde použil například jiné jednotky pro objem paliva nebo jiné klíčové faktory bezpečného doletu. Bylo by hezkým školním projektem, kdyby si žáci na jednoduché základní veličině, kterou je délka, uvědomili, co všechno do měření čehokoliv přinášely jednotky, které se stejně jmenovaly, ale všude byly jinak veliké. Doporučil bych například klasickou míru „loket“, který byl dlouho základní jednotkou měření čehokoliv v obchodním styku, ale místní loket byl ve městech, tržištích i obchodech k dispozici, aby všichni věděli „zač je toho loket“ právě v místě, kde se právě nacházejí a chtějí nakoupit.

Teprve, když se podařilo pojmenovat veličiny a jejich jednotky, byl možný symbolický zápis nějakou formulí, vzorcem neboli funkcí. Byl to ohromný pokrok nejen ve vědecké nebo obchodní  komunikaci, ale zároveň velký příspěvek ke globalizaci všeho druhu. Bylo štěstí, že v období, kdy se soustava SI šířila světem, tedy na konci 19. století, byla převaha Západu, který byl nositelem této unifikace, tak výrazná, že nebyl nikdo, kdo by jí ve světě mohl významně čelit a soustava byla přijata jako globální komunikační platforma. Je samozřejmé, že v řadě míst na naší planetě se staré tradiční veličiny a jednotky uchovaly často jako kulturní dědictví. Je zapotřebí si uvědomit, že hodnota soustavy SI je především v šíři shody, která nad ní panuje. Nikdo nemůže vyloučit, že by se dala vymyslet jiná soustava a s ní jiná fyzika a trochu jiný model světa, v jiných veličinách, ale přechod na ni by byl spojen s tak ohromnými transakčními náklady, že zřejmě budeme ještě dlouho používat současnou soustavu SI, i kdyby se nám pohled na svět a objektivní realitu poněkud nebo dokonce podstatně změnil. Je to dáno právě i tím, že současná soustava její geneze sahá daleko a hluboko až k Euklidovým základům a Eudoxově teorii proporcí.

Obecně platí, že oblast alfanumerických kódů či řetězců a oblast symbolů, znaků a značek nejsou z hlediska svých možností ekvivalentní. Přirozeně platí, že symbolické zápisy lze vyjádřit alfanumerickým řetězcem, ale nikoliv každý alfanumerický řetězec lze vyjádřit symbolicky. Co však oběma těmto oblastem společné, to je skutečnost, že mohou vyjadřovat s větší nebo menší přesností skutečný svět přírody nebo to, co nazýváme objektivní realitou. Tvoří tedy hranici mezi světem a zásvětím. Jinými slovy můžeme popsat objektivní realitu s těmito popisy v zásvětí pracovat a následně výsledek vynést zpět na svět a tam jej experimentálně ověřit. Zcela obdobně mají tyto oblasti své průchody do světa geometrického. Lze tedy říci, že společná oblast znaků značek a symbolů je jakýmsi svorníkem, kterým lze vyjádřit  jak objektivní realitu, tak její geometrické obrazy.

Geometrický svět je vynálezem nejen starých Řeků, ale i jiných starověkých kultur. Geometrický svět byl jednodušší, poslušnější než tělesný, žitý svět naší zkušenosti, daný kulturou, technologiemi, vírou nebo jazykem. S ideálním světem geometrických tvarů se dalo nakládat podobně jako se značkami, písmeny a číslicemi. Bylo to jenom trochu jiné prvotní zásvětí a právě z tohoto zásvětí se nám na svět prostřednictvím myšlenek Euklidových základů dostaly pevné základní kameny našeho myšlení a celé řady věd, kterým byly společné…Popravdě výsledky manipulací v geometrickém zásvětí bylo také snadnější ve skutečném světě posoudit, do jaké míry jsou v souladu s objektivní realitou.

To vše vede k jednomu společnému závěru. Platí, že každé společenské uspořádání je do značné míry utvářeno a charakterizováno převládající podobou komunikace probíhající v jeho rámci. Základem komunikace je porozumění sdělením, zprávám, informacím, které se v jejím rámci pohybují.  Toto porozumění je dáno společnou zkušeností, poznáním nebo pravidly. Máme k dispozici nepřebernou paletu různých jazyků. Máme samozřejmě spoustu jazyků mateřských, které jsou pro ostatní lidi jazyky cizí. My lidé umíme komunikovat i prostřednictvím  nejrůznějších sad značek, znaků a signálů  a naší výsadou je komunikace prostřednictvím symbolů, které dokážeme vytvářet a je to často ta poslední věc, která nás odděluje od schopností umělé inteligence. Velkým univerzálním jazykem naší planety je matematika. Matematickému zápisu rozumí matematicky vzdělaní lidé na celém světě. Toto porozumění v jazyce matematiky a stejně jako porozumění v řadě jiných jazyků a komunikačních prostředků se zrodilo ve starověkém Řecku před pětadvaceti staletími a v kolébce tohoto porozumění najdeme i tato slova:

Pravíme, že jsou veličiny v témž poměru k sobě, první ke druhé, a třetí ke čtvrté, když stejné násobky veličiny první a třetí nad stejné násobky druhé a čtvrté jsou dle jakékoli násobnosti buď jeden nad druhý zároveň větší buď zároveň stejné buď zároveň menší, jsouce vzaty ve vzájemném pořádku. Veličiny mající týž poměr nazývejme úměrou (úměrnými).

Jedním ze z nejznámějších překladatelů Euklidových Základů do češtiny byl na počátku minulého století František Servít. O století později jeho texty upravil profesor Petr Vopěnka. Prasynovcem Františka Servíta byl profesor Radim Servít, jehož jméno se v době mých studií skvělo na nejedné lavici v posluchárnách v legendární podobě, totiž že „Servít je vůl…“ Mimochodem, jde zřejmě o nejznámější českou „latrinálii“…

Touto zcela nekorektní poznámkou si dovoluji s omluvou váženému čtenáři svoji úvahu na téma teorie proporcí zakončit a vyslovit z hloubi duše jedno přání.

Přeji všem dětem a mladým lidem i jejich učitelům a rodičům, aby jim byla dána možnost utvářet ve škole i mimo ni vzájemně a společně poznání a vzdělání od jeho skutečných základů a získali tak mimo jiné smysl pro proporce. Pokud budou mít pocit, že tuto možnost nemají je jejich povinností si ji vytvořit. Bez těchto základů se každé vzdělání stane pouhým souborem snadno zapomenutelných a nikde a na ničem neukotvených pouček a nepropojených informací. Bez skutečných základů nemůže být žádná stavba ani k žití ani k užití. Bude spíše hrozit závalem a udělá více škody než užitku. A že je ta dnešní, až příliš častá parodie na vzdělání u mnoha z nás nebezpečným zdrojem rostoucí individuální i společenské debilizace a tmářství, o tom není sporu…

Přeji všem v tomto jejich úsilí hodně úspěchů a trochu štěstí…      

 

 

 

České novinky1.eu